已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在...

问题详情：

已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）；（2）存在，．

【解析】（1）根据已知条件，列出不等式组，求解，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，则直线，代入椭圆的方程，解得点的坐标，同理可得直线的方程，代入求解所以，即可求解点的坐标．

试题解析：（1）由题意，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意知直线经过坐标原点，假设存在符合条件的点，则直线的斜率存在且大于零，①

设直线的斜率为，则直线，

联立方程组，得，

所以②

同理可得直线的方程为③

将②③代入①式得，

化简得，所以

所以，

综上所述，存在符合条件的点

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何*质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题