如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度...

问题详情：

如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．

（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

【回答】

解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=•AC•BE=，∴BE=．在Rt△ABE中，AE==6，∴coaA===．

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2．

∵S△PQM=S△QCN，∴ •PQ2=וCQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或，∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．

（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=HQ，∴3t=（9﹣9t），∴t=．

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=QH，∴3t=（9t﹣9），∴t=．

综上所述：当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．

知识点：各地中考

题型：综合题