問題詳情:
如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x+3與座標軸交於A,B,C三點,拋物線上的點D與點C關於它的對稱軸對稱.
(1)直接寫出點D的座標和直線AD的解析式;
(2)點E是拋物線上位於直線AD上方的動點,過點E分別作EF∥x軸,EG∥y軸並交直線AD於點F、G,求△EFG周長的最大值;
(3)若點P為y軸上的動點,則在拋物線上是否存在點Q,使得以A,D,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點Q的座標,若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】HF:二次函式綜合題.
【分析】(1)先求得點C的座標,然後再求得拋物線的對稱軸,由點C與點D關於x=1對稱可求得點D的座標,把y=0代入拋物線的解析式可求得對應的x的值,從而可得到點A的座標,然後利用待定係數法求得直線AD的解析式即可;
(2)首先*△EFG為等腰直角三角形,則△EFG的周長=(2+)EG,設E(t,﹣t2+2t+3),則G(t,t+1),然後得到EG與t的函式關係式,利用*法可求得EG的最大值,最後依據△EFG的周長=(2+)EG求解即可;
(3)分為AD為平行四邊形的邊和AD為平行四邊形的對角線時,兩種情況,可先利用平行四邊形的*質求得點Q的橫座標,然後將點Q的橫座標代入拋物線的解析式可求得點Q的縱座標.
【解答】解:(1)將x=0代入得y=3,
∴C(0,3).
∵拋物線的對稱軸為x=﹣=1,C(0,3),
∴D(2,3).
把y=0代入拋物線的解析式得:0=﹣x2+2x+3,解得x=3或x=﹣1,
∴A(﹣1,0).
設直線AD的解析式為y=kx+b,將點A和點D的座標代入得:,解得:k=1,b=1,
∴直線AD的解析式為y=x+1.
(2)如圖1所示:
∵直線AD的解析式為y=x+1,
∴∠DAB=45°.
∵EF∥x軸,EG∥y軸,
∴∠GEF=90°,∠GFE=∠DAB=45°
∴△EFG是等腰直角三角形.
∴△EFG的周長=EF+FG+EG=(2+)EG.
依題意,設E(t,﹣t2+2t+3),則G(t,t+1).
∴EG=﹣t2+2t+3﹣(t+1)=﹣(t﹣)2+.
∴EG的最大值為.
∴△EFG的周長的最大值為+.
(3)存在.
①以AD為平行四邊形的邊時,PQ∥AD,PQ=AD.
∵A,D兩點間的水平距離為3,
∴P,Q兩點間的水平距離也為3.
∴點Q的橫座標為3或﹣3.
將x=3和x=﹣3分別代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12.
∴Q(3,0)或(﹣3,﹣12).
②當AD為平行四邊形的對角線時,設AD的中點為M,
∵A(﹣1,0),D(2,3),M為AD的中點,
∴M(,).
設點Q的橫座標為x,則=,解得x=1,
∴點Q的橫座標為1.
將x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4.
∴這時點Q的座標為(1,4).
綜上所述,當點Q的座標為Q(3,0)或(﹣3,﹣12)或(1,4)時,以A,D,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形.
【點評】本題主要考查的是二次函式的綜合應用,解答本題主要應用了二次函式的*質、待定係數法求一次函式的解析式、平行四邊形的*質,列出EG的長與t的函式關係式是解答問題(2)的關鍵,利用平行四邊形的*質求得點Q的橫座標是解答問題(3)的關鍵.
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題