已知數列{an}滿足對任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（...

問題詳情：

已知數列{an}滿足對任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．

（1）求a1，a2的值；

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）若bn=，記Sn=，如果Sn＜對任意的n∈N*恆成立，求正整數m的最小值．

【回答】

【考點】8E：數列的求和．

【分析】（1）由題設條件知a1=1．當n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．

（2）由題意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，由於an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同樣有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），由此得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．所以數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，由通項公式即可得到所求．

（3）求得bn===2[﹣]，運用數列的求和方法：裂項相消求和，可得Sn，結合不等式的*質，恆成立思想可得m≥，進而得到所求最小值．

【解答】解：（1）當n=1時，有a13=a12，

由於an＞0，所以a1=1．

當n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，

將a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，

由於an＞0，所以a2=2．

（2）由於a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①

則有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②

②﹣①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2﹣（a1+a2+…+an）2，

由於an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1．③

同樣有an2=2（a1+a2+…+an﹣1）+an（n≥2），④

③﹣④，得an+12﹣an2=an+1+an．

所以an+1﹣an=1．

由於a2﹣a1=1，即當n≥1時都有an+1﹣an=1，

所以數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列．

故an=n．

（3）bn===2[﹣]，

則Sn=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]

=2[+﹣﹣]＜2×=，

Sn＜對任意的n∈N*恆成立，可得≥，

即有m≥，

可得正整數m的最小值為4．

知識點：數列

題型：解答題