已知正方形ABCD，P為*線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F線上段CB的延長線上，連線EA、E...

問題詳情：

已知正方形ABCD，P為*線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F線上段CB的延長線上，連線EA、EC.

（1）    如圖1，若點P線上段AB的延長線上，求*：EA=EC;

（2）    若點P線上段AB上.

①    如圖2，連線AC,當P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，並說明理由；

②    如圖3，設AB=a,BP=b，當EP平分∠AEC時，求a ：b及∠AEC的度數

.

【回答】

（1）    *：∵四邊形ABCD為正方形

      ∴AB=AC

      ∵四邊形BPEF為正方形

      ∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP

      ∵AP=AB+BP,CF=BC+BF

∴CF=AP

在△APE和△CFE中：EP=EF, ∠P=∠F=90°, AP= CF

∴△APE≌△CFE

∴EA=EC

（2）    △ACE是直角三角形

∵P為AB的中點

∴BP=AP= AB

設BP=AP=x,則AB=2x

∵四邊形ABCD為正方形

∴∠ABC=90°,BC=AB=2x

∴AC2=AB2+BC2=4x2+4x2=8x2

∵四邊形BPEF為正方形

∴∠BPE=∠EFC=90°,PE=EF=BF=BP=x

∴CE2=CF2+EF2=(2x+x)2+x2=10x2

∵∠BPE=90°

∴∠APE=90°

∴AE2=AP2+PE2=x2+x2=2x2

∵8x2+2x2=10x2

∴AC2+AE2= CE2

∴△ACE是直角三角形

（3）    記CE與AB交於點O

∵四邊形BPEF為正方形

∴PE=BP=b,∠APE=∠BPE=90°

∵EP平分∠AEC   ∴∠AEP=∠CEP

在△AEP和△OEP中：∠APE=∠BPE=90°，PE=PE,∠AEP=∠OEP

∴△AEP≌△OEP  ∴AP=OP

設AP=OP=x,則BO=b-x

∵四邊形ABCD為正方形

∴∠ABC=90°,BC=AB=a

在△POE和△BOC中：∠OBC=∠OPE=90°，∠POE=∠BOC

∴△POE∽△BOC

         ∴=即:  =，x= ,檢驗無誤  ∴AP=

     ∵AP+PB=AB   ∴+b=a  即a2=2b2

     ∴a=b       ∴a : b=

連線BE

∵四邊形BPEF為正方形

∴∠BFE=90°,BF=EF=b

∴∠EBF=45°,BE2=BF2+EF2=b2+b2=2b2 即：BE=b

∴BE=AB     ∴∠BAE=∠BEA

∵∠EBF=45°   ∴∠BAE=∠BEA=67.5°

∵∠APE=90°  ∴∠AEP=22.5°∴∠AEC=2∠AEP =45°

綜上：a : b=，∠AEC=45°

知識點：各地會考

題型：綜合題