問題詳情:
記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓,以橢圓的焦點為頂點作相似橢圓.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓交於兩點,且與橢圓僅有一個公共點,試判斷的面積是否為定值(為座標原點)?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
【回答】
【解析】
分析:(Ⅰ)由相似橢圓的定義可得,橢圓的離心率,由長軸的頂點為(-2,0),(2,0),於是可得,從而可得橢圓的方程;(Ⅱ)設直線.
由得,,利用判別式為零可得,聯立與,利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式以及三角形面積公式可得.
詳解:(Ⅰ)由條件知,橢圓的離心率,且長軸的頂點為(-2,0),(2,0),
∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)當直線的斜率存在時,設直線.
由得,.
令得,.
聯立與,化簡得.
設A(),B(),則
∴,而原點O到直線的距離
∴.
當直線的斜率不存在時,或,則,原點O到直線的距離,
∴.
綜上所述,的面積為定值6.
點睛:本題主要考查橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及橢圓的切線,屬於難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種:① 從特殊入手,先根據特殊位置和數值求出定值,再*這個值與變數無關;② 直接推理、計算,並在計算推理的過程中消去變數,從而得到定值.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題