問題詳情:
鄰邊不相等的平行四邊形紙片,剪去一個菱形,餘下一個四邊形,稱為第一次*作:在餘下的四邊形紙片中再剪去一個菱形,又剩下一個四邊形,稱為第二次*作;…依次類推,若第n次*作餘下的四邊形是菱形,則稱原平行四邊形為n階準菱形.如圖1,▱ABCD中,若AB=1,BC=2,則▱ABCD為1階準菱形.
(1)判斷與推理:
①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是________階準菱形;
②小明為了剪去一個菱形,進行了如下*作:如圖2,把▱ABCD沿BE摺疊(點E在AD上),使點A落在BC邊上的點F,得到四邊形ABFE.請*四邊形ABFE是菱形.
(2)*作、探究與計算:
①已知▱ABCD的鄰邊長分別為1,a(a>1),且是3階準菱形,請畫出▱ABCD及裁剪線的示意圖,並在圖形下方寫出a的值;
②已知▱ABCD的鄰邊長分別為a,b(a>b),滿足a=6b+r,b=5r,請寫出▱ABCD是幾階準菱形.
【回答】
(1)①2
②由摺疊知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AE∥BF,
∴∠AEB=∠FBE,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AE=AB,
∴AE=BF,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴四邊形ABFE是菱形;
(2)①如圖所示:
②10階準菱形
【解析】
解:(1)①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進行兩次*作,所剩四邊形是邊長為1的菱形,故鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形:
②由摺疊知:∠ABE=∠FBE,AB=BF,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AE∥BF,
∴∠AEB=∠FBE,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AE=AB,
∴AE=BF,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴四邊形ABFE是菱形;
(2)①如圖所示:
②∵a=6b+r,b=5r,
∴a=6×5r+r=31r;
如圖所示:
故▱ABCD是10階準菱形.
【難度】困難
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題