問題詳情:
閱讀材料:三角形的三條中線必交於一點,這個交點稱為三角形的重心.
(1)特例感知:如圖(一),已知邊長為2的等邊的重心為點,求與的面積.
(2)*質探究:如圖(二),已知的重心為點,請判斷、是否都為定值?如果是,分別求出這兩個定值:如果不是,請說明理由.
(3)*質應用:如圖(三),在正方形中,點是的中點,連線交對角線於點.
①若正方形的邊長為4,求的長度;
②若,求正方形的面積.
【回答】
(1),;(2)都是定值,,;(3)①;②12.
【解析】
(1)連線DE,利用相似三角形*,運用勾股定理求出AD的長,運用三角形面積公式求解即可;
(2)根據(1)的*可求解;
(3)①*△CME∽△ABM得,再運用勾股定理求出BE的長即可解決問題;
②分別求出S△BMC和S△ABM 即可.
【詳解】
(1)連線DE,如圖,
∵點O是的重心,
,是,C邊上的中線,
為,邊上的中點,
為的中位線,
,,
,
,
,
,,
(2)由(1)可知,是定值;
是定值;
(3)①∵四邊形ABCD是正方形,
,,
為CD的中點,
,即;
,
又
∴正方形ABCD的面積為:6+6=12.
【點睛】
本題考查的是三角形重心的*質、全等三角形的判定與*質、勾股定理及相似三角形的判定與*質,解答此題的關鍵是靈活運用三角形重心的*質.
知識點:相似三角形
題型:解答題