如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點E（8，0），矩形ABCD的邊AB線上段OE上（點A在點B的左側），...

問題詳情：

如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點E（8，0），矩形ABCD的邊AB線上段OE上（點A在點B的左側），點C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC於點M，點N是CD的中點，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連線M、N、G、F構成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長的最小值；

（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點P的座標；若不存在，請說明理由；

（4）矩形ABCD不動，將拋物線向右平移，當平移後的拋物線與矩形的邊有兩個交點K、L，且直線KL平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

【回答】

【解答】解：（1）∵點A線上段OE上，E（8，0），OA＝2

∴A（2，0）

∵OA：AD＝1：3

∴AD＝3OA＝6

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD⊥AB

∴D（2，﹣6）

∵拋物線y＝ax2+bx經過點D、E

∴   解得：

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x

（2）如圖1，作點M關於x軸的對稱點點M'，作點N關於y軸的對稱點點N'，連線FM'、GN'、M'N'

∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8

∴拋物線對稱軸為直線x＝4

∵點C、D在拋物線上，且CD∥x軸，D（2，﹣6）

∴yC＝yD＝﹣6，即點C、D關於直線x＝4對稱

∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）

∴AB＝CD＝4，B（6，0）

∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°

∴∠BAM＝45°

∴BM＝AB＝4

∴M（6，﹣4）

∵點M、M'關於x軸對稱，點F在x軸上

∴M'（6，4），FM＝FM'

∵N為CD中點

∴N（4，﹣6）

∵點N、N'關於y軸對稱，點G在y軸上

∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'

∴C四邊形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'

∵當M'、F、G、N'在同一直線上時，N'G+GF+FM'＝M'N'最小

∴C四邊形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12

∴四邊形MNGF周長最小值為12．

（3）存在點P，使△ODP中OD邊上的高為．

過點P作PE∥y軸交直線OD於點E

∵D（2，﹣6）

∴OD＝，直線OD解析式為y＝﹣3x

設點P座標為（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），則點E（t，﹣3t）

①如圖2，當0＜t＜2時，點P在點D左側

∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t

∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•xP+PE•（xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE•xD＝PE＝﹣t2+t

∵△ODP中OD邊上的高h＝，

∴S△ODP＝OD•h

∴﹣t2+t＝×2×

方程無解

②如圖3，當2＜t＜8時，點P在點D右側

∴PE＝yP﹣yE＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t

∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•xP﹣PE•（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE•xD＝PE＝t2﹣t

∴t2﹣t＝×2×

解得：t1＝﹣4（捨去），t2＝6

∴P（6，﹣6）

綜上所述，點P座標為（6，﹣6）滿足使△ODP中OD邊上的高為．

（4）設拋物線向右平移m個單位長度後與矩形ABCD有交點K、L

∵KL平分矩形ABCD的面積

∴K線上段AB上，L線上段CD上，如圖4

∴K（m，0），L（2+m，0）

連線AC，交KL於點H

∵S△ACD＝S四邊形ADLK＝S矩形ABCD

∴S△AHK＝S△CHL

∵AK∥LC

∴△AHK∽△CHL

∴

∴AH＝CH，即點H為AC中點

∴H（4，﹣3）也是KL中點

∴

∴m＝3

∴拋物線平移的距離為3個單位長度．

知識點：各地會考

題型：綜合題