問題詳情:
按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分*式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)*、乙、*三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配給*、乙、*三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
(6)*、乙、*三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
(7)*得1本,乙得1本,*得4本.
【回答】
(1)60;(2)360;(3)15;(4)90;(5)15;(6)90;(7)30
【分析】
(1)根據組合問題,分步依次選出三種選法,相乘即可得到總的方法數.
(2)根據組合,先求出三種符合要求的演算法.再對三種進行全排列即可.
(3)列出分成三組的不同組合數,注意去掉重複的情況.
(4)分成三組的不同組合數,去掉重複情況後,再對三組進行全排列即可.
(5)根據組合特徵,求得分組情況,去掉重複部分即可.
(6)利用組合求得分組情況,並去掉重複部分後,對三組進行全排列.
(7)根據排列數計算,得到無重複的無序組數.
【詳解】
(1)無序不均勻分組問題.先選本有種選法;再從餘下的本中選本有種選法;最後餘下的本全選有種選法.故共有 (種)選法.
(2)有序不均勻分組問題.由於*、乙、*是不同三人,在題的基礎上,還應考慮再分配,共有.
(3)無序均勻分組問題.先分三步,則應是種選法,但是這裡出現了重複.不妨記六本書為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分*式有.
(4)有序均勻分組問題.在題的基礎上再分配給個人,共有分*式 (種).
(5)無序部分均勻分組問題.共有 (種)分法.
(6)有序部分均勻分組問題.在題的基礎上再分配給個人,共有分*式 (種).
(7)直接分配問題.*選本有種選法,乙從餘下本中選本有種選法,餘下本留給*有種選法,共有 (種)選法.
【點睛】
本題考查了排列組合問題的綜合應用,關鍵分清是否有序,是否有重複的情況出現,對分析問題的能力要求較高,屬於中檔題.
知識點:計數原理
題型:解答題