問題詳情:
已知函式f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
(1)求f(x)的定義域與最小正週期;
(2)討論f(x)在區間[﹣,]上的單調*.
【回答】
【考點】GL:三角函式中的恆等變換應用;H2:正弦函式的圖象.
【分析】(1)利用三角函式的誘導公式以及兩角和差的餘弦公式,結合三角函式的輔助角公式進行化簡求解即可.
(2)利用三角函式的單調*進行求解即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
∴x≠kπ+,即函式的定義域為{x|x≠kπ+,k∈Z},
則f(x)=4tanxcosx•(cosx+sinx)﹣
=4sinx(cosx+sinx)﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+(1﹣cos2x)﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin(2x﹣),
則函式的週期T=;
(2)由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,即函式的增區間為[kπ﹣,kπ+],k∈Z,
當k=0時,增區間為[﹣,],k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此時x∈[﹣,],
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,即函式的減區間為[kπ+,kπ+],k∈Z,
當k=﹣1時,減區間為[﹣,﹣],k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此時x∈[﹣,﹣],
即在區間[﹣,]上,函式的減區間為∈[﹣,﹣],增區間為[﹣,].
知識點:三角恆等變換
題型:解答題