（2012•台州）定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ的長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．...

問題詳情：

（2012•台州）定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ的長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角座標系中四點．（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是
試題*
練習冊*
線上課程
分析：（1）理解新定義，按照新定義的要求求出兩個距離值；（2）如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值範圍為2≤m≤6：當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等於⊙A半徑，即d=2；當2≤m＜4時，作BN⊥x軸於點N，線段BC與線段OA的距離等於BN長；（3）①在準確理解點M運動軌跡的基礎上，畫出草圖，如答圖3所示．由圖形可以直觀求出封閉圖形的周長；②如答圖4所示，符合題意的相似三角形有三個，需要進行分類討論，分別利用點的座標關係以及相似三角形比例線段關係求出m的值．
解答：解：（1）當m=2，n=2時，如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即線段AB長）=2；當m=5，n=2時，B點座標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，如答圖1，過點B作BN⊥x軸於點N，則AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．（2）如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值範圍為2≤m≤6：當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等於⊙A半徑，即d=2；當2≤m＜4時，作BN⊥x軸於點N，線段BC與線段OA的距離等於BN長，ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d=

22-(4-m)2

=

4-16+8m-m2

=

-m2+8m-12

．（3）①依題意畫出圖形，點M的運動軌跡如答圖3中粗體實線所示：由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側半徑為2的半圓所組成，其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．②結論：存在．∵m≥0，n≥0，∴點M位於第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答圖4所示，相似三角形有三種情形：（I）△AM1H1，此時點M縱座標為2，點H在A點左側．如圖，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似關係可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），∴m=1；（II）△AM2H2，此時點M縱座標為2，點H在A點右側．如圖，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，由相似關係可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），∴m=3；（III）△AM3H3，此時點B落在⊙A上．如圖，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，過點B作BN⊥x軸於點N，則BN=M3H3=n，AN=m-4，由相似關係可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n  （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2  （2）由（1）、（2）式解得：m1=

26

5

，m2=2，當m=2時，點M與點A橫座標相同，點H與點A重合，故舍去，∴m=

26

5

．綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或

26

5

．
點評：本題是以圓為基礎的運動型壓軸題，綜合考查了圓的相關*質、相似三角形、點的座標、勾股定理、解方程等重要知識點，難度較大．本題涉及動線與動點，運動過程比較複雜，準確理解運動過程是解決本題的關鍵．第（3）①問中，關鍵是畫出點M運動軌跡的圖形，結合圖形求解一目瞭然；第（3）②問中，注意分類討論思想的運用，避免漏解．

【回答】

分析：（1）理解新定義，按照新定義的要求求出兩個距離值；（2）如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值範圍為2≤m≤6：當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等於⊙A半徑，即d=2；當2≤m＜4時，作BN⊥x軸於點N，線段BC與線段OA的距離等於BN長；（3）①在準確理解點M運動軌跡的基礎上，畫出草圖，如答圖3所示．由圖形可以直觀求出封閉圖形的周長；②如答圖4所示，符合題意的相似三角形有三個，需要進行分類討論，分別利用點的座標關係以及相似三角形比例線段關係求出m的值．
解答：解：（1）當m=2，n=2時，如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即線段AB長）=2；當m=5，n=2時，B點座標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，如答圖1，過點B作BN⊥x軸於點N，則AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．（2）如答圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值範圍為2≤m≤6：當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等於⊙A半徑，即d=2；當2≤m＜4時，作BN⊥x軸於點N，線段BC與線段OA的距離等於BN長，ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d=

22-(4-m)2

=

4-16+8m-m2

=

-m2+8m-12

．（3）①依題意畫出圖形，點M的運動軌跡如答圖3中粗體實線所示：由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側半徑為2的半圓所組成，其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．②結論：存在．∵m≥0，n≥0，∴點M位於第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答圖4所示，相似三角形有三種情形：（I）△AM1H1，此時點M縱座標為2，點H在A點左側．如圖，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，由相似關係可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），∴m=1；（II）△AM2H2，此時點M縱座標為2，點H在A點右側．如圖，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，由相似關係可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），∴m=3；（III）△AM3H3，此時點B落在⊙A上．如圖，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，過點B作BN⊥x軸於點N，則BN=M3H3=n，AN=m-4，由相似關係可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n  （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2  （2）由（1）、（2）式解得：m1=

26

5

，m2=2，當m=2時，點M與點A橫座標相同，點H與點A重合，故舍去，∴m=

26

5

．綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或

26

5

．
點評：本題是以圓為基礎的運動型壓軸題，綜合考查了圓的相關*質、相似三角形、點的座標、勾股定理、解方程等重要知識點，難度較大．本題涉及動線與動點，運動過程比較複雜，準確理解運動過程是解決本題的關鍵．第（3）①問中，關鍵是畫出點M運動軌跡的圖形，結合圖形求解一目瞭然；第（3）②問中，注意分類討論思想的運用，避免漏解．

知識點：

題型：