如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，點E為AB的中點．(1)求*：B...

問題詳情：

如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，點E為AB的中點．

(1)求*：BD1∥平面A1DE；

(2)求*：D1E⊥A1D；

(3)線上段AB上是否存在點M，使二面角D1－MC－D的大小為？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．

【回答】

.(1)*　由題意可得D1D⊥平面ABCD，以D為座標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角座標系Dxyz，

則D(0,0,0)，C(0,2,0)，

A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1，0)．

＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，

設平面A1DE的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

則得

取x1＝1，則n1＝(1，－1，－1)是平面A1DE的一個法向量，又＝(－1，－2,1)，且·n1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n1，又BD1不在平面A1DE內，故BD1∥平面A1DE.

(2)*　由題意得＝(1,1，－1)，

＝(－1,0，－1)，

·＝(1,1，－1)·(－1,0，－1)＝0，

⊥，故D1E⊥A1D.

(3)解　線段AB上存在點M，使二面角D1－MC－D的大小為.

設M(1，y0，0)(0≤y0≤2)，

因為＝(－1,2－y0，0)，＝(0,2，－1)，

設平面D1MC的一個法向量為v1＝(x，y，z)，

則得

取y＝1，則v1＝(2－y0，1,2)是平面D1MC的一個法向量，而平面MCD的一個法向量為v2＝＝(0,0,1)，

要使二面角D1－MC－D的大小為，

則cos＝|cos〈v1，v2〉|＝

＝＝，

解得y0＝2－(0≤y0≤2)．

所以當AM＝2－時，二面角D1－MC－D的大小為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題