如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為稜AB的中點，AB=2，AD=，...

問題詳情：

如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為稜AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求*：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的餘弦值；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

【回答】

(Ⅰ)*見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．

【解析】

分析：（Ⅰ）由面面垂直的*質定理可得AD⊥平面ABC，則AD⊥BC．

（Ⅱ）取稜AC的中點N，連線MN，ND．由幾何關係可知∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．計算可得．則異面直線BC與MD所成角的餘弦值為．

（Ⅲ）連線CM．由題意可知CM⊥平面ABD．則∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．計算可得．即直線CD與平面ABD所成角的正弦值為．

詳解：（Ⅰ）*：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．

（Ⅱ）取稜AC的中點N，連線MN，ND．又因為M為稜AB的中點，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因為AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．

所以，異面直線BC與MD所成角的餘弦值為．

（Ⅲ）連線CM．因為△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=．又因為平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD==4．

在Rt△CMD中，．

所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為．

點睛：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎知識．考查空間想象能力、運算求解能力和推理論*能力．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題