問題詳情:
如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交於A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸於點C和第一象限的點P,連線PB,得△PCB≌△BOA(O為座標原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設M是點C,F間拋物線上的一點(包括端點),其橫座標為m.
(1)直接寫出點P的座標和拋物線的解析式;
(2)當m為何值時,△MAB面積S取得最小值和最大值?請說明理由;
(3)求滿足∠MPO=∠POA的點M的座標.
【回答】
解:(1)當y=c時,有c=﹣x2+bx+c,
解得:x1=0,x2=b,
∴點C的座標為(0,c),點P的座標為(b,c).
∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交於A、B兩點,
∴點A的座標為(1,0),點B的座標為(0,3),
∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b.
∵△PCB≌△BOA,
∴BC=OA,CP=OB,
∴b=3,c=4,
∴點P的座標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4.
(2)當y=0時,有﹣x2+3x+4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴點F的座標為(4,0).
過點M作ME∥y軸,交直線AB於點E,如圖1所示.
∵點M的橫座標為m(0≤m≤4),
∴點M的座標為(m,﹣m2+3m+4),點E的座標為(m,﹣3m+3),
∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,
∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5.
∵﹣<0,0≤m≤4,
∴當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5.
(3)①當點M線上段OP上方時,∵CP∥x軸,
∴當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,
∴點M的座標為(0,4);
②當點M線上段OP下方時,在x正半軸取點D,連線DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA.
設點D的座標為(n,0),則DO=n,DP=,
∴n2=(n﹣3)2+16,
解得:n=,
∴點D的座標為(,0).
設直線PD的解析式為y=kx+a(k≠0),
將P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,
,解得:,
∴直線PD的解析式為y=﹣x+.
聯立直線PD及拋物線的解析式成方程組,得:,
解得:,.
∴點M的座標為(,).
綜上所述:滿足∠MPO=∠POA的點M的座標為(0,4)或(,).
知識點:各地會考
題型:綜合題