如圖1，我們已經學過：點C將線段AB分成兩部分，如果，那麼稱點C為線段AB的黃金分割點．某校的數學拓展*課程班...

問題詳情：

如圖1，我們已經學過：點C將線段AB分成兩部分，如果，那麼稱點C為線段AB的黃金分割點．某校的數學拓展*課程班，在進行知識拓展時，張老師由黃金分割點拓展到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那麼稱直線l為該圖形的黃金分割線．

如圖2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分線交AB於點D．

（1）*點D是AB邊上的黃金分割點；

（2）*直線CD是△ABC的黃金分割線．

【回答】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)*AD=CD=BC,*△BCD∽△BCA,得到.則有,所以點D是AB邊上的黃金分割點;

(2)*,直線CD是△ABC的黃金分割線;

【詳解】

解：(1)點D是AB邊上的黃金分割點.理由如下:

AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.

CD是角平分線, ∠ACD=∠BCD=,

∠A=∠ACD,AD=CD.

∠CDB=180-∠B-∠BCD=,

∠CDB=∠B,BC=CD.

BC=AD.

在△BCD與△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,

△BCD∽△BCA,

點D是AB邊上的黃金分割點.

 (2)直線CD是△ABC的黃金分割線.理由如下:

設ABC中,AB邊上的高為h,則

,,,

由（1）得點D是AB邊上的黃金分割點，

，

直線CD是△ABC的黃金分割線

【點睛】

本題主要考查三角想相似及相似的*質，注意與題中黃金分割線定義相結合解題.

知識點：相似三角形

題型：解答題