如圖，在邊長為2（單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形，再把它的四個角沿著虛線折起，做成一個正...

問題詳情：

如圖，在邊長為2 （單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形，再把它的四個角沿著虛線折起，做成一個正四稜錐的模型．設切去的等腰三角形的高為x m．

（1）求正四稜錐的體積V(x)；

（2）當x為何值時，正四稜錐的體積V(x)取得最大值？

【回答】

解 （1）設正四稜錐的底面中心為O，一側稜為AN．則

由於切去的是等腰三角形，所以AN＝，NO＝1－x，……………2分

在直角三角形AON中，AO＝＝＝，

………………………………4分

所以V(x)＝··2·＝(1－x)2，（0＜x＜1)．  …………………7分

（不寫0＜x＜1扣1分）      

（2）V ′(x)＝＝(x－1)，   ……………10分

令V ′(x)＝0，得x＝1(捨去)，x＝．

當x∈(0， )時，V ′(x)＞0，所以V(x)為增函式；

當x∈(，1)時，V ′(x)＜0，所以V(x)為減函式．

所以函式V(x)在x＝時取得極大值，此時為V(x)最大值．……………14分

答：當x為m時，正四稜錐的體積V(x)取得最大值．     ……………15分

知識點：空間幾何體

題型：解答題