如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現均收到故障船C的求救訊號．已知A、B兩船相距100（+1...

問題詳情：

如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現均收到故障船C的求救訊號．已知A、B兩船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．

(1)分別求出A與C，A與D間的距離AC和AD（如果運算結果有根號，請保留根號）．   

(2)已知距離觀測點D處100海里範圍內有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸礁的危險？（參考資料： ≈1.41， ≈1.73）   

【回答】

（1）解：如圖，作CE⊥AB於E， 由題意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°， 設AE=x海里， 在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°= x； 在Rt△BCE中，BE=CE= x． ∴AE+BE=x+ x=100（ +1）， 解得：x=100． AC=2x=200． 在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，則∠ACD=45°． 過點D作DF⊥AC於點F， 設AF=y，則DF=CF= y， ∴AC=y+ y=200， 解得：y=100（ ﹣1）， ∴AD=2y=200（ ﹣1）． 答：A與C之間的距離AC為200海里，A與D之間的距離AD為200（ ﹣1）海里． （2）解：由（1）可知，DF= AF= ×100（ ﹣1）≈126.3海里， 因為126.3＞100，所以巡邏船A沿直線AC航線，在去營救的途中沒有觸暗礁危險．                    【考點】解直角三角形的應用-方向角問題                【解析】【分析】（1）作CE⊥AB於E，設AE=x海里，則BE=CE= x海里．根據AB=AE+BE=x+ x=100（ +1），求得x的值後即可求得AC的長；過點D作DF⊥AC於點F，同理求出AD的長；（2）根據（1）中的結論得出DF的長，再與100比較即可得到*．   

知識點：解直角三角形與其應用

題型：解答題