已知點A，B關於座標原點O對稱，│AB│=4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0...

問題詳情：

已知點A，B關於座標原點O對稱，│AB│ =4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．

（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．

（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？並說明理由．

【回答】

（1）或；

（2）見解析.

【解析】

【分析】

（1）設，，根據，可知；由圓的*質可知圓心必在直線上，可設圓心；利用圓心到的距離為半徑和構造方程，從而解出；（2）當直線斜率存在時，設方程為：，由圓的*質可知圓心必在直線上；假設圓心座標，利用圓心到的距離為半徑和構造方程，解出座標，可知軌跡為拋物線；利用拋物線定義可知為拋物線焦點，且定值為；當直線斜率不存在時，求解出座標，驗*此時依然滿足定值，從而可得到結論.

【詳解】

（1）在直線上    設，則

又    ，解得：

過點，    圓心必在直線上

設，圓的半徑為

與相切   

又，即

，解得：或

當時，；當時，

的半徑為：或

（2）存在定點，使得

說明如下：

，關於原點對稱且

直線必為過原點的直線，且

①當直線斜率存在時，設方程為：

則的圓心必在直線上

設，的半徑為

與相切   

又

，整理可得：

即點軌跡方程為：，準線方程為：，焦點

，即拋物線上點到的距離   

當與重合，即點座標為時，

②當直線斜率不存在時，則直線方程為：

在軸上，設

，解得：，即

若，則

綜上所述，存在定點，使得為定值.

【點睛】

本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題.解決本定點定值問題的關鍵是能夠根據圓的*質得到動點所滿足的軌跡方程，進而根據拋物線的定義得到定值，進而驗*定值符合所有情況，使得問題得解.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題