問題詳情:
如圖,點A在數軸上對應的數為26,以原點O為圓心,OA為半徑作優弧,使點B在O右下方,且tan∠AOB=,在優弧上任取一點P,且能過P作直線l∥OB交數軸於點Q,設Q在數軸上對應的數為x,連線OP.
(1)若優弧上一段的長為13π,求∠AOP的度數及x的值;
(2)求x的最小值,並指出此時直線l與所在圓的位置關係;
(3)若線段PQ的長為12.5,直接寫出這時x的值.
【回答】
(1)∠POA=90°,x=;(2)當直線PQ與⊙O相切時時,此時x的值為﹣32.5;(3)滿足條件的x的值為﹣16.5或31.5或﹣31.5.
【分析】
(1)利用弧長公式求出圓心角即可解決問題;
(2)如圖當直線PQ與⊙O相切時時,x的值最小.
(3)由於P是優弧上的任意一點,所以P點的位置分三種情形,分別求解即可解決問題.
【詳解】
解:(1)如圖1中,
由=13π,
解得n=90°,
∴∠POQ=90°,
∵PQ∥OB,
∴∠PQO=∠BOQ,
∴tan∠PQO=tan∠QOB=,
∴OQ=,
∴x=;
(2)如圖當直線PQ與⊙O相切時時,x的值最小.
在Rt△OPQ中,OQ=OP÷=32.5,
此時x的值為﹣32.5;
(3)分三種情況:
①如圖2中,作OH⊥PQ於H,設OH=4k,QH=3k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5﹣3k)2,
整理得:k2﹣3k﹣20.79=0,
解得k=6.3或﹣3.3(捨棄),
∴OQ=5k=31.5.
此時x的值為31.5.
②如圖3中,作OH⊥PQ交PQ的延長線於H.設OH=4k,QH=3k.
在Rt△在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5+3k)2,
整理得:k2+3k﹣20.79=0,
解得k=﹣6.3(捨棄)或3.3,
∴OQ=5k=16.5,
此時x的值為﹣16.5.
③如圖4中,作OH⊥PQ於H,設OH=4k,AH=3k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5﹣3k)2,
整理得:k2﹣3k﹣20.79=0,
解得k=6.3或﹣3.3(捨棄),
∴OQ=5k=31.5不合題意捨棄.
此時x的值為﹣31.5.
綜上所述,滿足條件的x的值為﹣16.5或31.5或﹣31.5.
【點睛】
本題考查了弧長公式、平行線的*質、解直角三角形等知識,綜合*較強,有一定的難度,解題的關鍵是學會新增常用輔助線,構造直角三角形解決問題,學會用分類討論的思想思考問題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題