如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O，交對角線AC於點E．（1）線段AE=　  　；（2...

問題詳情：

如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O，交對角線AC於點E．

（1）線段AE=　   　；

（2）如圖2，以點A為端點作∠DAM=30°，交CD於點M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉（如圖3），設旋轉角為α（0°＜α＜150°），旋轉過程中AD與⊙O交於點F．

①當α=30°時，請求出線段AF的長；

②當α=60°時，求出線段AF的長；判斷此時DM與⊙O的位置關係，並說明理由；

③當α=　   　°時，DM與⊙O相切．

【回答】

【考點】MR：圓的綜合題．

【分析】（1）連線BE，則可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的長．

（2）①連線OA、OF，可判斷出△OAF是等邊三角形，從而可求出AF的長；②此時可得DAM=30°，根據AD=8可求出AF的長，也可判斷DM與⊙O的位置關係；③根據AD等於⊙O的直徑，可得出當DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，從而可得出α的度數．

【解答】解：（1）

連線BE，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠BAC=45°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

又∵AB=8，

∴AE=4；

（2）①

連線OA、OF，

由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，

故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，

則∠OAF=60°，

又∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∵OA=4，

∴AF=OA=4；

②

連線B'F，此時∠NAD=60°，

∵AB'=8，∠DAM=30°，

∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；

此時DM與⊙O的位置關係是相離；

③

∵AD=8，直徑的長度相等，

∴當DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，

故此時可得α=∠NAD=90°．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題