問題詳情:
已知
(1)討論函數的極值;.
(2)若對,其中爲自然對數的底數,使得恆成立,求實數的取值範圍.
【回答】
(1)*見解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函數的定義域和導數,分,兩種情況進行討論,結合導數,即可求出函數的極值.
(2) 設,分,,三種情況進行討論,結合導數求出每種情況下函數的單調*,即可求出函數的最值,令最大值小於0即可求出實數的取值範圍.
【詳解】
(1)函數的定義域爲,,
當時,,故的單調遞減,無極值;
當時,令,得,則時,,單調遞增,時,,單調遞減,
綜上所述,當時,在處取得極大值,無極小值.
當時,無極值.
(2)由題意知,恆成立,設,
則只需在上的最大值小於零,,
令,得(捨去)或.
①當,即時,在上單調遞增,
故在上取得最大值,由,得,
解得,又,故,所以.
②當,即時,在上單調遞減,
故在上取得最大值,由,得.
③當,即時,在上單調遞增,
在上單調遞減,故在上取得最大值,
又,,所以,,故,
綜上,實數的取值範圍爲.
【點睛】
本題考查了利用導數求函數的極值,考查了利用導數求函數的最值,考查了利用導數解決不等式恆成立問題,屬於難題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題