某少數民族的刺繡有着悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)爲她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正...

問題詳情：

某少數民族的刺繡有着悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)爲她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．

(1)　(2)　(3)　　 (4)

(1)求出f(5)；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n＋1)與f(n)的關係式，並根據你得到的關係式求f(n)的表達式．

【回答】

[解]　(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴f(5)＝25＋4×4＝41.

(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式規律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴f(2)－f(1)＝4×1，

f(3)－f(2)＝4×2，

f(4)－f(3)＝4×3，

……

f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．

∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]

＝2(n－1)·n，

∴f(n)＝2n2－2n＋1.

知識點：推理與*

題型：解答題