將一個直角三角形紙片放置在平面直角座標系中，點，點，點B在第一象限，，，點P在邊上（點P不與點重合）． （1）...

問題詳情：

將一個直角三角形紙片放置在平面直角座標系中，點，點，點B在第一象限，，，點P在邊上（點P不與點重合）．

（1）如圖①，當時，求點P的座標；

（2）摺疊該紙片，使摺痕所在的直線經過點P，並與x軸的正半軸相交於點Q，且，點O的對應點爲，設．

①如圖②，若摺疊後與重疊部分爲四邊形，分別與邊相交於點，試用含有t的式子表示的長，並直接寫出t的取值範圍；

②若摺疊後與重疊部分的面積爲S，當時，求S的取值範圍（直接寫出結果即可）．

【回答】

（1）點P的座標爲；（2）①，t的取值範圍是；②．

【分析】

（1）過點P作軸，則，因爲，，可得，進而得，由30°所對的直角邊等於斜邊的一半可得，進而用勾股定理可得，點P的座標即求出；

（2）①由摺疊知，，所以，；再根據，即可根據菱形的定義“四條邊相等的四邊形是菱形”可*四邊形爲菱形，所以，可得；根據點A的座標可知，加之，從而有；而在中，，

又因爲，所以得，由和的取值範圍可得t的範圍是；

②由①知，爲等邊三角形，由（1）四邊形爲菱形，所以,三角形DCQ爲直角三角形，∠Q=60°，從而，,進而可得，又已知t的取值範圍是，即可得．

【詳解】

解：（1）如圖，過點P作軸，垂足爲H，則．

，

．

．

在中，，

，．

點P的座標爲．

（2）①由摺疊知，，

，．

又，

．

四邊形爲菱形．

．可得．

點，

．有．

在中，．

，

，其中t的取值範圍是．

②由①知，爲等邊三角形，

∵四邊形爲菱形，

∴,三角形DCQ爲直角三角形，∠Q=60°，

∴，,

∴，

∵，

∴．

，

【點睛】

本題主要考查了摺疊問題，菱形的判定與*質，求不規則四邊形的面積等知識．

知識點：實際問題與二次函數

題型：解答題