問題詳情:
在中,垂直平分,分別交、於點、,垂直平分,分別交,於點、.
⑴如圖①,若,求的度數;
⑵如圖②,若,求的度數;
⑶若,直接寫出用表示大小的代數式.
【回答】
(1)∠EAN=44°;(2)∠EAN=16°;(3)當0<α<90°時,∠EAN=180°-2α;當α>90°時,∠EAN=2α-180°.
【分析】
(1)根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE,再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B,同理可得,∠CAN=∠C,然後利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C,再根據∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入數據進行計算即可得解;
(2)同(1)的思路,最後根據∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入數據進行計算即可得解;
(3)根據前兩問的求解,分α<90°與α>90°兩種情況解答.
【詳解】
(1)∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B,
同理可得:∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C),
在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°,
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°;
(2)∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B,
同理可得:∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC,
在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°;
(3)當0<α<90°時,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B,
同理可得:∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC,
在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α,
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α;
當α>90°時,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B,
同理可得:∠CAN=∠C,
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C),
在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α,
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°.
【點睛】
本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的*質,等邊對等角的*質,三角形的內角和定理,整體思想的利用是解題的關鍵.
知識點:課題學習 最短路徑問題
題型:解答題