如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN與⊙O相切於點C，過點B作BD⊥MN於點D．（1）求*：∠AB...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN與⊙O相切於點C，過點B作BD⊥MN於點D．

（1）求*：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，則⊙O的半徑是　   　．

【回答】

（1）見解析；（2）5．

【分析】

（1）連接OC，由切線的*質可得OC⊥MN，即可*得OC∥BD，由平行線的*質和等腰三角形的*質可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可*得結論；

（2）連接AC，由勾股定理求得BD，然後通過*得△ABC∽△CBD，求得直徑AB，從而求得半徑．

【詳解】

（1）*：連接OC，

∵MN爲⊙O的切線，

∴OC⊥MN，

∵BD⊥MN，

∴OC∥BD，

∴∠CBD＝∠BCO．

又∵OC＝OB，

∴∠BCO＝∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABC．；

（2）解：連接AC，

在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，

∴BD＝＝8，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴，即，

∴AB＝10，

∴⊙O的半徑是5，

故*爲5．

【點睛】

本題考查了切線的*質和圓周角定理、三角形相似的判定和*質以及解直角三角形，作出輔助線構建等腰三角形、直角三角形是解題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題