如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點E在CD上，DE=1，點F是邊AB上一動點，以EF爲斜邊作Rt△...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點E在CD上，DE=1，點F是邊AB上一動點，以EF爲斜邊作Rt△EFP．若點P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則AF的值是________.

【回答】

0或1＜AF＜ 或4.

【解析】以EF爲斜邊的直角三角形的直角頂點P是以EF爲直徑的圓與矩形邊的交點, 取EF的中點O,

(1) 如圖1, 當圓O與AD相切於點G時, 連結OG, 此時點G與點P重合,只有一個點, 此時AF=OG=DE=1;

(2) 如圖2,

當圓O與BC相切於點G, 連結OG,EG, FG, 此時有三個點P可以構成Rt△EFP,

∵OG是圓O的切線,∴OG⊥BC

∴OG∥AB∥CD

∵OE=OF,

∴BG=CG,∴OG=  (BF+CE),

設AF=x, 則BF=4-x, OG= (4-x+4-1)=  (7-x)

則EF=2OG=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x) ，

在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

得(7-x) =10+1+(4-x)2,解得x=  ，

所以當1<AF<時,以EF爲直徑的圓與矩形ABCD的交點 (除了點E和F) 只有兩個;

(3)因爲點F是邊AB上一動點:

當點F與B點重合時, AF=4, 此時Rt△EFP正好有兩個符合題意，如圖3;

故*爲0或1＜AF＜   或4.

知識點：特殊的平行四邊形

題型：填空題