問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,直線y=-2x+10與x軸,y軸相交於A,B兩點,點C的座標是(8,4),連接AC,BC.
(1)求過O,A,C三點的拋物線的解析式,並判斷△ABC的形狀;
(2)動點P從點O出發,沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動,同時,動點Q從點B出發,沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動,規定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.設運動時間爲t秒.當t爲何值時,PA=QA?
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使以A,B,M爲頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點M的座標;若不存在,請說明理由.
第4題圖
【回答】
解:(1)∵直線y=-2x+10與x軸、y軸相交於A、B兩點,
∴A(5,0),B(0,10),
設過O、A、C三點的拋物線的解析式爲y=ax2+bx(a≠0),
把點A(5,0)和C(8,4)代入可得,
解得,
∴拋物線的解析式爲y=x2-x;
∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),
∴AB2=125,AC2=25,BC2=100,
∵AB2=AC2+BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)如解圖,連接AP,AQ,當P,Q運動t秒,即OP=2t,CQ=10-t,
第4題解圖
在Rt△AOP和Rt△ACQ中,
,
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,
∴OP=CQ,
∴2t=10-t,
∴t=,
∵t<5,
∴當運動時間爲秒時,PA=QA;
(3)存在.
由題可得,拋物線的對稱軸直線爲x=,
設點M的座標爲( ,b),
利用點的座標可求得
AB2=102+52=125,
MB2=()2+(b-10)2,
MA2=()2+b2,
∵△MAB是等腰三角形,
∴可分以下三種情況討論:
①當AB=MA時,即125=()2+b2,
解得b=±,
即點M的座標爲(,)或(,-);
②當AB=BM時,即125=()2+(b-10)2,
解得b=10±,
即點M的座標爲(,10+)或(,10-);
③當MB=MA時,即()2+(b-10)2=()2+b2,
解得b=5,此時點A、M、B共線,故這樣的點M不存在.
綜上所述,存在點M,使以點A、B、M爲頂點的三角形是等腰三角形,點M的座標爲(,)或(,-)或(,10+)或(,10-).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題