設某物體一天中的温度T是時間t的函數，已知T（t）=t3+at2+bt+c，其中温度的單位是℃，時間的單位是小...

問題詳情：

設某物體一天中的温度T是時間t的函數，已知T（t）=t3+at2+bt+c，其中温度的單位是℃，時間的單位是小時，規定中午12：00相應的t=0，中午12：00以後相應的t取正數，中午12：00以前相應的t取負數（例如早上8：00對應的t=﹣4，下午16：00相應的t=4），若測得該物體在中午12：00的温度為60℃，在下午13：00的温度為58℃，且已知該物體的温度在早上8：00與下午16：00有相同的變化率．

（1）求該物體的温度T關於時間t的函數關係式；

（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點）何時温度最高？最高温度是多少？

【回答】

【考點】36：函數解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）由題意可得當t=0時，T（t）=60； 當t=1時，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），由此求得待定係數a、b、c的值，可得函數的解析式．

（2）利用導數研究函數的單調*，由單調*求得函數的最大值，從而得出結論．

【解答】解：（1）由題意可得，T′（t）=3t2+2at+b，當t=0時，T（t）=60；

當t=1時，T（t）=58；T′（﹣4）=T′（4），

故有c=60，1+a+b+c=58，3•（﹣4）2+2a•（﹣4）+b=3•42+2a•4+b，

解得a=0，b=﹣3，c=0，∴T（t）=t3 ﹣3t+60，（﹣12≤t≤12）．

（2）該物體在上午10：00至下午14：00這段時間中（包括端點），即﹣2≤t≤2，T′（t）=3t2﹣3，

故當t∈[﹣2，﹣1）、（1，2]時，T′（t）=3t2﹣3＞0，函數單調遞增；故當t∈[﹣1，1]時，T′（t）=3t2﹣3≤0，函數單調遞減，

故當t=﹣1時，函數取得極大值為T（﹣1）=64，而區間[﹣2，2]的端點值T（﹣2）=58，T（2）=62，

故函數T（t）=t3+at2+bt+c在區間[﹣2，2]上的最大值為64，

故上午11點温度最高為64°．

知識點：函數的應用

題型：解答題