當兔子和狐狸處於同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐狸數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：...

問題詳情：

當兔子和狐狸處於同一棲息地時，忽略其他因素，只考慮兔子數量和狐狸數量的相互影響，為了簡便起見，不妨做如下假設：（1）由於自然繁殖，兔子數每年增長10%，狐狸數每年減少15%；（2）由於狐狸吃兔子，兔子數每年減少狐狸數的0.15倍，狐狸數每年增加兔子數的0.1倍；（3）第n年時，兔子數量用表示，狐狸數量用表示；（4）初始時刻（即第0年），兔子數量有只，狐狸數量有只。請用所學知識解決如下問題：

（1）列出兔子與狐狸的生態模型（、的關係式）；

（2）求出、關於n的關係式；

（3）討論當n越來越大時，兔子與狐狸的數量是否能達到一個穩定的平衡狀態，説明你的理由。

【回答】

解：⑴

   ⑵設，  

∴=……=

又矩陣M的特徵多項式  =

令得：

特徵值對應的一個特徵向量為

特徵值對應的一個特徵向量為

且

∴=

∴

⑶當n越來越大時，越來越接近於0，,分別趨向於常量210,140。即隨着時間的增加，兔子與狐狸的數量逐漸增加，當時間充分長後，兔子與狐狸的數量達到一個穩定的平衡狀態。

知識點：矩陣與變換

題型：計算題