自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通後，我省與歐洲各國經貿往來日益頻繁，某歐洲客商準備在湖南採購一批特*商品，經調...

問題詳情：

自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通後，我省與歐洲各國經貿往來日益頻繁，某歐洲客商準備在湖南採購一批特*商品，經調查，用16 000元採購A型商品的件數是用7 500元採購B型商品的件數的2倍，一件A型商品的進價比一件B型商品的進價多10元．

(1)求一件A，B型商品的進價分別為多少元？

(2)若該歐洲客商購進A，B型商品共250件進行試銷，其中A型商品的件數不大於B型的件數，且不小於80件，已知A型商品的售價為240元/件，B型商品的售價為220元/件，且全部售出．設購進A型商品m件，求該客商銷售這批商品的利潤v與m之間的函數解析式，並寫出m的取值範圍；

(3)在(2)的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型商品的利潤中捐獻慈善資金a元，求該客商售完所有商品並捐獻慈善資金後獲得的最大收益．

【回答】

（1）一件B型商品的進價為150元，一件A型商品的進價為160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80時，最大利潤為(18 300－80a)元．

【分析】

（1）設一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10）元．根據16000元採購A型商品的件數是用7500元採購B型商品的件數的2倍，列出方程即可解決問題；

（2）根據總利潤=兩種商品的利潤之和，列出式子即可解決問題；

（3）設利潤為w元．則w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三種情形討論即可解決問題．

【詳解】

解：（1）設一件B型商品的進價為x元，則一件A型商品的進價為（x+10）元．

由題意：，解得x=150，經檢驗x=150是分式方程的解．

答：一件B型商品的進價為150元，一件A型商品的進價為160元．

（2）因為客商購進A型商品m件，所以客商購進B型商品（250﹣m）件．

由題意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；

（3）設利潤為w元．則w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：

①當10﹣a＞0時，w隨m的增大而增大，所以m=125時，最大利潤為（18750﹣125a）元．

②當10﹣a=0時，最大利潤為17500元．

③當10﹣a＜0時，w隨m的增大而減小，所以m=80時，最大利潤為（18300﹣80a）元，∴當0＜a＜10時，最大利潤為（18750﹣125a）元；當a=10時，最大利潤為17500元；當a＞10時，最大利潤為（18300﹣80a）元．

【點睛】

本題考查了分式方程的應用、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建方程或一次函數解決問題，屬於中考常考題型．

知識點：分式方程

題型：解答題