問題詳情:
從年底開始,非洲東部的肯尼亞等國家爆發出了一場嚴重的蝗蟲災情.目前,蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞,並向西亞和南亞等地區蔓延.蝗蟲危害大,主要危害禾本科植物,能對農作物造成嚴重傷害,每隻蝗蟲的平均產卵數和平均温度有關,現收集了以往某地的組數據,得到下面的散點圖及一些統計量的值.
平均温度 | |||||||
平均產卵數個 |
表中,.
(1)根據散點圖判斷,與(其中為自然對數的底數)哪一個更適宜作為平均產卵數關於平均温度的迴歸方程類型?(給出判斷即可,不必説明理由)並由判斷結果及表中數據,求出關於的迴歸方程.(結果精確到小數點後第三位)
(2)根據以往統計,該地每年平均温度達到以上時蝗蟲會造成嚴重傷害,需要人工防治,其他情況均不需要人工防治,記該地每年平均温度達到以上的概率為.
①記該地今後年中,恰好需要次人工防治的概率為,求取得最大值時相應的概率;
②根據①中的結論,當取最大值時,記該地今後年中,需要人工防治的次數為,求的數學期望和方差.
附:對於一組數據、、、,其迴歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為:,.
【回答】
(1)更適宜;;(2)①;②,.
【解析】
【分析】
(1)利用圖象可得出更適宜作為平均產卵數關於平均温度的迴歸類型,對,兩邊取自然對數,求出關於的迴歸方程,進而可得出關於的迴歸方程;
(2)①對函數求導數,利用導數判斷該函數的單調*,求出函數取最值時對應的的值;
②由取最大值時對應的的值,得出,由二項分佈的數學期望和方差公式可得出、的值.
【詳解】
(1)由散點圖可以判斷,更適宜作為平均產卵數關於平均温度的迴歸類型,
對兩邊取自然對數得,令,,,則.
因為,,
所以,關於的迴歸方程為,
所以,關於的迴歸方程為;
(2)①由,,
且,當時,;當時,.
所以,函數在區間上單調遞增,在區間上單調遞減,
所以,函數在處取得極大值,亦即最大值,;
②由①可知,當時,取最大值,
又,則,由題意可知,,.
【點睛】
本題考查非線*迴歸方程的求解,考查了利用導數求函數的最值,同時也考查了利用二項分佈求隨機變量的數學期望和方差,考查計算能力,屬於中等題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題