新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的...

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新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.

(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.

(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:

①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-2.

试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

【回答】

【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:

当x∈[10,1000]时,

①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤恒成立,

(2)①对于函数模型f(x)=+2:

当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,

则f(x)≥1显然恒成立,

而若使函数f(x)=+2≤在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤不恒成立.

故该函数模型不符合公司要求.

②对于函数模型f(x)=4lgx-2:

当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,

则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.

所以f(x)≥1恒成立.

设g(x)=4lgx-2-,则g′(x)=-.

当x≥10时,g′(x)=-≤=<0,

所以g(x)在[10,1000]上是减函数,

从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.

所以4lgx-2-≤0,即4lgx-2≤,所以f(x)≤恒成立.

故该函数模型符合公司要求.

知识点：统计案例

题型：解答题