．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an﹣n+1（n∈N*），bn=an+1．（1）求数列{bn}的通...

问题详情：

．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an﹣n+1（n∈N*），bn=an+1．

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）求数列{nbn}的前n项和Tn．

【回答】

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】（1）求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列bn的等比数列，求解通项公式．

（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+1，易得a1=0，b1=1；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n+1﹣[2an﹣1﹣n+1+1]，

整理得an=2an﹣1+1，

∴bn=an+1=2（an﹣1+1）=2bn﹣1，

∴数列{bn}构成以首项为b1=1，公比为2等比数列，

∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1，n∈N•；

（2）由（1）知bn=2n﹣1，则nbn=n•2n﹣1，

则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，①

∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②

由①﹣②得：﹣Tn=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n，

∴Tn=（n﹣1）2n+1．

知识点：数列

题型：解答题