已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)&l...

问题详情：

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.

(1)求f(1)的值;

(2)判断f(x)的单调*;

(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.

【回答】

解:(1)令x1=x2>0,

代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.

(2)任取x1,x2∈(0,+∞),

且x1>x2,则>1,

由于当x>1时,f(x)<0,

所以f()<0,即f(x1)-f(x2)<0.

因此f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.

(3)由f()=f(x1)-f(x2)得

F()=f(9)-f(3),

而f(3)=-1,

所以f(9)=-2.

由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,

且f(|x|)<-2=f(9),

所以|x|>9,解得x>9或x<-9.

故不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题