已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆O与...

问题详情：

已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3，0)，且与圆O相切．

(1)求直线l1的方程；

(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′．直线QM交直线l2于点Q′．求*：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．

【回答】

解析：(1)由题意可知，直线l的斜率显然存在．

因为直线l1过点A(3，0)，所以设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0，0)到直线l1的距离为d＝＝1，

解得k＝±．

所以直线l1的方程为y＝±(x－3)，

即x＋4y－3＝0或x－4y－3＝0．

(2)在圆O的方程x2＋y2＝1中，

令y＝0得x＝±1，

即P(－1，0)，Q(1，0)．又直线l2过点A与x轴垂直，

所以直线l2的方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x＋1)．

解方程组

得P′(3，)．

同理可得Q′(3，)．

以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)·(x－3)＋(y－)(y－)＝0，

又s2＋t2＝1，

所以整理得(x2＋y2－6x＋1)＋y＝0，

若圆C经过定点，则y＝0，

从而有x2－6x＋1＝0，

解得x＝3±2，

所以圆C总经过的定点坐标为(3±2，0)．

知识点：圆与方程

题型：解答题