设函数f（x）=ax﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的极大值；（Ⅱ）若f...

问题详情：

设函数f（x）=ax﹣﹣2lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的极大值；

（Ⅱ）若f（x）在定义域上是减函数，求实数a的取值范围．

【回答】

解：（Ⅰ）f′（x）=a+﹣；

∴f′（2）=a+﹣1=0，解得a=；

∴f′（x）=+﹣=，

x＞0，令f′（x）=0，解得：x=，或2；

∴x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；

∴x=时，f（x）取得极大值f（）=2ln2﹣；----6分

（Ⅱ）∵f′（x）=，

∴需x＞0时ax2﹣2x+a≤0恒成立；

a=0时，函数y=ax2﹣2x+a开口向上，x＞0时，满足ax2﹣2x+a＜0恒成立，

a＜0时，函数g（x）=ax2﹣2x+a的对称轴是x=1/a＜0，

图象在y轴左侧且g（0）=a＜0，故满足题意，

a>0时不成立

综上，a≤0．---------12分

知识点：导数及其应用

题型：解答题