设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当x=...

问题详情：

设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）当x=时，f（x）有极小值，求a，b的值．

【回答】

【考点】6B：利用导数研究函数的单调*；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的增减*，并求出极值；

（2）由（1）的结论，求出a、b的值．

【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1），

∴f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：

由表可知：当x∈（﹣∞，a）时，函数f（x）为减函数，

当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数，

当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数；

∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）；

当x=a时，f（x）的极小值为﹣a3+b，

当x=3a时，f（x）的极大值为b；

（2）当x=时，f（x）有极小值，

根据（1）得，a=，且﹣a3+b=，

即﹣×+b=，解得b=；

综上，a=，b=．

知识点：导数及其应用

题型：解答题