如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三点．（1）求抛物线的解析式...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）反比例函数y=

k

x

的图象的一个分支经过点C，并且另个分支与抛物线在第一象限相交．①求出k的值；②反比函数y=

k

x

的图象是否经过点A和点B，试说明理由；③若点P（a，b）是反比例函数y=

k

x

在第三象限的图象上的一个动点，连接AB、PA、PB，请问是否存在这样的一点P使△PAB的面积为3？如果存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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分析：（1）根据待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，即可求得抛物线的解析式；（2）①根据C点的坐标即可求出反比例函数的解析式y=

2

x

；②由k的值等于2，若A，B两点的横纵坐标相乘等于2，则反比例函数就经过该点．③直接求△PAB的面积不容易，可以过P作PE∥x轴，作AD⊥PE于D，BE⊥PE于E，先求出四边形ABEP的面积，再减去△BPE的面积，即得△PAB的面积，令其等于3，即可求得满足条件的点P．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三点∴

a+b+c=2 4a+2b+c=1 4a-2b+c=-1

解得：

a=- 1 2 b= 1 2 c=2

（2分）∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

1

2

+2（3分）（2）①反比例函数y=

k

x

的图象的一个分支经过点C（-2，-1）∴k=（-2）×（-1）=2（5分）②由①知k的值为2，所以反比例函数的解析式为y=

2

x

，∵1×2=2=k，∴点A（1，2）在反比例函数y=

2

x

的图象上，同理点B（2，1）也在反比例函数y=

2

x

的图象上，即反比函数y=

k

x

的图象经过点A和点B，（8分）③存在（9分）设点P的坐标为（a，b）因为点P（a，b）在y=

2

x

上，所以点P的坐标为（a，

2

a

）作PE∥x轴，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分别为D、E．则PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-

2

a

+2，BE=-

2

a

+1（10分）∴S△ADP=

1

2

AD•PD=

1

2

（-

2

a

+2）（-a+1）=-a-

1

a

+2∴S梯形ABED=

1

2

（AD+BE）•DE=

3

2

-

2

a

∴S△BPE=

1

2

PE•BE=-

1

2

a-

2

a

+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-

1

2

a-

1

a

+

3

2

（12分）若△PAB的面积为3则-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1，a2=-2经检验a1=-1，a2=-2都是方程-

1

2

a-

1

a

+

3

2

=3的解所以点P的坐标为（-1，-2）或（-2，-1）（13分）
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，同时在求解三角形的面积时，要灵活的运用割补法进行求解．

【回答】

分析：（1）根据待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，即可求得抛物线的解析式；（2）①根据C点的坐标即可求出反比例函数的解析式y=

2

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；②由k的值等于2，若A，B两点的横纵坐标相乘等于2，则反比例函数就经过该点．③直接求△PAB的面积不容易，可以过P作PE∥x轴，作AD⊥PE于D，BE⊥PE于E，先求出四边形ABEP的面积，再减去△BPE的面积，即得△PAB的面积，令其等于3，即可求得满足条件的点P．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1，2）、B（2，1）和C（-2，-1）三点∴

a+b+c=2 4a+2b+c=1 4a-2b+c=-1

解得：

a=- 1 2 b= 1 2 c=2

（2分）∴抛物线的解析式为y=-

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x2+

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+2（3分）（2）①反比例函数y=

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的图象的一个分支经过点C（-2，-1）∴k=（-2）×（-1）=2（5分）②由①知k的值为2，所以反比例函数的解析式为y=

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，∵1×2=2=k，∴点A（1，2）在反比例函数y=

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的图象上，同理点B（2，1）也在反比例函数y=

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的图象上，即反比函数y=

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的图象经过点A和点B，（8分）③存在（9分）设点P的坐标为（a，b）因为点P（a，b）在y=

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上，所以点P的坐标为（a，

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）作PE∥x轴，作AD⊥PE，BE⊥PE，垂足分别为D、E．则PD=-a+1，PE=-a+2，AD=-

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+2，BE=-

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+1（10分）∴S△ADP=

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AD•PD=

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+2）（-a+1）=-a-

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+2∴S梯形ABED=

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（AD+BE）•DE=

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∴S△BPE=

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PE•BE=-

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+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-

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a-

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（12分）若△PAB的面积为3则-

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=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1，a2=-2经检验a1=-1，a2=-2都是方程-

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a-

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=3的解所以点P的坐标为（-1，-2）或（-2，-1）（13分）
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，同时在求解三角形的面积时，要灵活的运用割补法进行求解．

知识点：

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