问题详情:
如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE<BD)的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.
(1)求*:PA•BD=PB•AE;
(2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?若存在,请给予*,并求其面积;若不存在,说明理由.
【回答】
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)易*∠APE=∠BPD,∠EAP=∠B,从而可知△PAE∽△PBD,利用相似三角形的*质即可求出*.
(2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知:,从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=,从而可求出AD和DG的长度,进而*四边形ADFE是菱形,此时F点即为M点,利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.
【解答】解:(1)∵DP平分∠APB,
∴∠APE=∠BPD,
∵AP与⊙O相切,
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°,
∴∠EAP=∠B,
∴△PAE∽△PBD,
∴,
∴PA•BD=PB•AE;
(2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,
∵DP平分∠APB,
AD⊥AP,DF⊥PB,
∴AD=DF,
∵∠EAP=∠B,
∴∠APC=∠BAC,
易*:DF∥AC,
∴∠BDF=∠BAC,
由于AE,BD(AE<BD)的长是x2﹣5x+6=0,
解得:AE=2,BD=3,
∴由(1)可知:,
∴cos∠APC==,
∴cos∠BDF=cos∠APC=,
∴,
∴DF=2,
∴DF=AE,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∵AD=AE,
∴四边形ADFE是菱形,
此时点F即为M点,
∵cos∠BAC=cos∠APC=,
∴sin∠BAC=,
∴,
∴DG=,
∴在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形
其面积为:DG•AE=2×=
【点评】本题考查圆的综合问题,涉及圆周角定理,锐角三角函数的定义,平行四边形的判定及其面积公式,相似三角形的判定与*质,综合程度较高,考查学生的灵活运用知识的能力.
知识点:各地中考
题型:综合题