已知函数，其中a为常数.(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(3，4)，求实数a的值；(2)若0<...

问题详情：

已知函数，其中a为常数.

(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(3，4)，求实数a的值；

(2)若0<a<1，求*：；

(3)当函数存在三个不同的零点时，求实数a的取值范围

【回答】

（1） ；（2）详见解析；（3） .

【详解】

试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：，再结合斜率公式进而得出的值；(2)表示出，然后构造函数通过讨论函数的单调**；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调*来解决.

试题解析：由题知

（Ⅰ）

（Ⅱ），令，

则

∴时，单调递减，

故时，，

∴当时，

（Ⅲ）

①

∴至多只有一个零点，不合题意；

②

∴至多只有一个零点，不合题意；

③

此时，在上递减，上递增，上递减，所以，至多有三个零点.因为在递增，所以，又因为，所以，使得，又，所以恰有三个不同零点：，所以函数存在三个不同的零点时，的取值范围是.

考点：函数与导数综合应用.

知识点：导数及其应用

题型：解答题