如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．

（1）求b的值及点M的坐标；

（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求*：：

（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（，）.

【解析】

（1）将*后可得顶点M的坐标，利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值；

（2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x，过点D作DH⊥直线y=-x，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据求出交点H（1，-2），分别求得DH=，DM=，根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论；

（3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB=，根据得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，*△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再*△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，将x=代入中，得y=，即可得到点E的坐标.

【详解】

（1）∵=，

∴顶点M的坐标为（3，-3）.

令中y=0，得x1=0，x2=6，

∴A（6,0），

将点A的坐标代入中，得-3+b=0，

∴b=3；

（2）∵由平移得来，

∴m=-，

∵过点M(3，-3),

∴，解得n=，

∴平移后的直线CM的解析式为y=-x.

过点D作DH⊥直线y=-x，

∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，

∴k=-4，

∴直线DH的解析式为y=2x-4.

解方程组，得，

∴H（1，-2）.

∵D(2，0)，H(1，-2)，

∴DH=，

∵M(3，-3)，D（2,0）,

∴DM=，

∴sin∠DMH=，

∴∠DMH=45°，

∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，

∴；

（3）存在点E，

过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，

∵A(6，0)，B（0,3）,

∴AB=.

∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，

∴∠BAO=∠AFE，

∴AE=EF，

∵，

∴，

设GF=4a，则AE=EF=3a，

∵EQ⊥x轴，

∴EQ∥OB，

∴△AEQ∽△ABO，

∴，

∴，

∴AQ=a，

∴AF=a.

∵∠AFE=∠PFG，

∴△FGP∽△AEQ，

∴,

∴FP=a，

∴OP=PG=，

∴+a+a=6,

解得a=，

∴AQ=,

∴OQ=，

将x=代入中，得y=，

∴当时，存在点E，使得，此时点E的坐标为（，）.

【点睛】

此题考查了抛物线的*质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的*质，两个一次函数交点坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及*质，等腰三角形的*质，三角形的外角的*质定理，是一道抛物线的综合题，较难.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题