.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx...

问题详情：

.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B

（1）求抛物线的解析式；   

（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= S四边形ACBD时，求D点坐标；   

（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．

【回答】

（1）解：∵令x=0得：y=﹣3， ∴C（0，﹣3）． 令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3， ∴A（﹣3，0）． 将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的： ，解得： ． ∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3 （2）解：如图1所示： 令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1． ∴AB=4． ∵S△ACD= S四边形ACBD  ， ∴S△ADC：S△DCB=3：5． ∴AE：EB=3：5． ∴AE=4× = ． ∴点E的坐标为（﹣ ，0）． 设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得： ， 解得：k=﹣2，b=﹣3． ∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3． 将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去）， 将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5． ∴点D的坐标为（﹣4，5） （3）解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M． 设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得： ， 解得：k=3，b=﹣3． ∴直线BC的解析式为y=3x﹣3． 设直线DE的解析式为y=﹣ x+n，将点D的坐标代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣ = ． ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+ ． 将y=3x﹣3与y=﹣ x+ 联立解得：x=2，y=3． ∴点E坐标为（2，3）． 依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ． ∵点P与点Q关于点B对称， ∴PB=BQ． 在△PCB和△QEB中 ， ∴△PCB≌△QEB． ∴∠BPC=∠Q． 又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG ∴∠DBE=∠DGB． 又∵∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°． ∵D（﹣4，5），B（1，0）， ∴DM=NB． ∴∠DBN=45°． ∴∠PBM=45°． ∴PM=MB 设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3． ∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）． ∴点P的坐标为（﹣2，3）． ∴PC∥x轴． ∵∠Q=∠BPC， ∴EQ∥PC． ∴点E与点F的纵坐标相同． 将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ （舍去）． ∴点F的坐标为（﹣1 ，3）． ∴EF=2﹣（﹣1﹣ ）=3+  

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题