问题详情:
阅读下面材料:
小明遇到这样两个问题:
(1)如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为D,BC=﹣6,求OD的长;
(2)如图2△ABC中,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,求AD的取值范围.
对于问题(1),小明发现根据垂径定理,可以得出点D是AC的中点,利用三角形中位线定理可以解决;对于问题(2),小明发现延长AD到E,使DE=AD,连接BE,可以得到全等三角形,通过计算可以解决.
请回答:
问题(1)中OD长为 ;问题(2)中AD的取值范围是 ;
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(3)如图3,△ABC中,∠BAC=90°,点D、E分别在AB、AC上,BE与CD相交于点F,AC=mEC,AB=2EC,AD=nDB.
①当n=1时,如图4,在图中找出与CE相等的线段,并加以*;
②直接写出的值(用含m、n的代数式表示).
【回答】
【考点】MR:圆的综合题.
【分析】(1)由三角形中位线定理可得OD=BC,由此即可解决问题;
(2)如图2中,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,CM.在△ABM中,理由三边关系定理可得6﹣4<AM<6+4,即2<2AD<10,1<AD<5;
(3)①结论:EF=CE.如图4中,延长CD到M使得DM=CD,连接BM.由△ADC≌△BDM,推出BM=AC,∠M=∠ACD,由BM∥AC,推出△CEF∽△MBF,
可得=,推出==,推出BF=mEF,推出BE=(m+1)EF,在Rt△BAE中,BE===(m+1)EC,推出(m+1)EC=(m+1)EF,由此即可*;
结论: =.如图3中,作BM∥AC交CD的延长线于M.*方法类似①;
【解答】解:(1)如图1中,
∵OD⊥AC,
∴AD=DC,
∵AO=OB,BC=6,
∴OD=BC=3.
(2)如图2中,延长AD到M,使得DM=AD,连接BM,CM.
∵AD=DM,BD=CD,
∴四边形ABMC是平行四边形,
∴BM=AC=4,∵AB=6,
∴6﹣4<AM<6+4,
即2<2AD<10,
∴1<AD<5.
(3)①结论:EF=CE.
理由:如图4中,延长CD到M使得DM=CD,连接BM.
∵AD=DB,∠ADC=∠BDM,
∴△ADC≌△BDM,
∴BM=AC,∠M=∠ACD,
∴BM∥AC,
∴△CEF∽△MBF,
∴=,
∴==,
∴BF=mEF,
∴BE=(m+1)EF,
在Rt△BAE中,BE===(m+1)EC,
∴(m+1)EC=(m+1)EF,
∴EF=CE.
②结论: =.
理由:如图3中,作BM∥AC交CD的延长线于M.
由△ADC∽△BDM,可得==n,
∴BM=,
∵=,
∴=,
∵AC=mEC,
∴BF=EF,
∴BE=(1+)EF,
在Rt△BAE中,BE===(m+1)EC,
∴(m+1)EC=(1+)EF,
∴=.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题