定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf'（x）＜2恒成立，则使...

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定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf'（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的实数x的取值范围是（） A.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B.（﹣2，0）∪（0，2） C.{x|x≠±2} D.（﹣2，2）

【回答】

【解析】当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得： 2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0 设：g（x）=x2f（x）﹣x2 则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立： ∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4， ∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4，即g（x）＜g（2）即x＞2；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣2，综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：A．根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调*，求出函数的取值范围，并根据偶函数的*质：对称*，求出x＜0的取值范围．

知识点：导数及其应用

题型：选择题

Tags：实数偶函数 xf 2F 函数

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