已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定...

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已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）

（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求*：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．

（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．

【回答】

【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2

∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）

②*：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x

整理得：x2﹣3x﹣1＝0

∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0

∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根

即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．

（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c

∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）

即xx2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根

∴x1+x2＝﹣，x1x2＝

∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c

∴C（0，c）

∵E（1，0）

∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1

∵DF⊥y轴，OC＝OD

∴DF∥x轴

∴

∴EF＝CE＝，CF＝2

∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB

∴△AEF∽△CEB

∴，即AE•BE＝CE•EF

∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2

展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1

1+c2＝﹣﹣1﹣

c3+2ac2+2c+4a＝0

 c2（c+2a）+2（c+2a）＝0

（c2+2）（c+2a）＝0

∵c2+2＞0

∴c+2a＝0，即c＝﹣2a

∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8

∴AB＝x2﹣x1＝

∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P

∴△PFC∽△PBA

∴

∴

解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）

∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4

∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2

知识点：各地中考

题型：解答题