已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于...

问题详情：

已知F1，F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，则双曲线的离心率为（　　）

A．            B．             C．2               D．

【回答】

A．解：|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，

设|AF1|＝t，|AB|＝3x，则|BF2|＝4x，|AF2|＝5x，

根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|＝|BF1|﹣|BF2|＝2a，

即5x﹣t＝（3x+t）﹣4x＝2a，

解得t＝3a，x＝a，

即|AF1|＝3a，|AF2|＝5a，

∵|AB|：|BF2|：|AF2|＝3：4：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，

∴cos∠BAF2＝＝，

可得cos∠F2AF1＝﹣，

△F2AF1中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1

＝9a2+25a2﹣2×3a×5a×（﹣）＝52a2，

可得|F1F2|＝2a，即c＝a，

因此，该双曲线的离心率e＝＝．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：选择题