△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作...

问题详情：

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为：　   　．

②BC，CD，CF之间的数量关系为：　   　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予*；若不成立，请你写出正确结论再给予*．

（3）拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．

【回答】

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）①根据正方形的*质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的*质即可得到结论；②由正方形ADEF的*质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的*质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的*质即可得到结论；

（2）根据正方形的*质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的*质以及等腰直角三角形的角的*质可得到结论．

（3）根据等腰直角三角形的*质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的*质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的*质得到NE=CM，EM=CN，由角的*质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的*质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的*质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中，，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；

故*为：垂直；

②△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD；

故*为：BC=CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．

∵正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB与△FAC中，，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠ABD=∠ACF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°．

∴∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，

∴CF⊥BC．

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC．

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴BC=AB=4，AH=BC=2，

∴CD=BC=1，CH=BC=2，

∴DH=3，

由（2）*得BC⊥CF，CF=BD=5，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE=CM，EM=CN，

∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，

∴∠ADH=∠DEM，

在△ADH与△DEM中，，

∴△ADH≌△DEM，

∴EM=DH=3，DM=AH=2，

∴CN=EM=3，EN=CM=3，

∵∠ABC=45°，

∴∠BGC=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

∴EG==．

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题