如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，...

问题详情：

如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（    ）

A．5                           B．4                           C．3                           D．2

【回答】

B

【解析】

根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减*，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.

【详解】

解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，

∴a＜0，c＜0，，

∴b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，

∴对称轴在直线x=2右侧，即，

∴，又a＜0，

∴4a+b＞0，故②正确；

∵与是抛物线上两点，，

可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，

在上，y随x的增大而减小，

∴不一定成立，故③错误；

若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，

则

=

=

=≤0，

∴，故④正确；

∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，

当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，

当x=4时，16a+4b+c=0，

∴a=，

则，整理得：4b+5c≥0，

则4b+3c≥-2c，又c＜0，

-2c＞0，

∴4b+3c＞0，故⑤正确，

故正确的有4个.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和*质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：选择题