问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的边AD在x轴上,点C在y轴的负半轴上,直线BC∥AD,且BC=3,OD=2,将经过A、B两点的直线l:y=﹣2x﹣10向右平移,平移后的直线与x轴交于点E,与直线BC交于点F,设AE的长为t(t≥0).
(1)四边形ABCD的面积为 ;
(2)设四边形ABCD被直线l扫过的面积(*影部分)为S,请直接写出S关于t的函数解析式;
(3)当t=2时,直线EF上有一动点,作PM⊥直线BC于点M,交x轴于点N,将△PMF沿直线EF折叠得到△PTF,探究:是否存在点P,使点T恰好落在坐标轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】FI:一次函数综合题.
【分析】(1)根据函数解析式得到OA=5,求得AC=7,得到OC=4,于是得到结论;
(2)①当0≤t≤3时,根据已知条件得到四边形ABFE是平行四边形,于是得到S=AE•OC=4t;②当3≤t<7时,如图1,求得直线CD的解析式为:y=2x﹣4,直线E′F′的解析式为:y=﹣2x+2t﹣10,解方程组得到G(,t﹣7),于是得到S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣×(7﹣t)×(7﹣t)=﹣t2+7t﹣,③当t≥7时,S=S四边形ABCD=20,
(3)当t=2时,点E,F的坐标分别为(﹣3,0),(﹣1,﹣4),此时直线EF的解析式为:y=﹣2x﹣6,设动点P的直线为(m,﹣2m﹣6),求得PM=|(﹣2m﹣6)﹣(﹣4)|=2|m+1|,PN=(﹣2m﹣6|=2(m+3|,FM=|m﹣(﹣1)|=|m+1,①假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在x轴上,如图2,连接PT,FT,②假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在y轴上,如图3,连接PT,FT,根据全等三角形的判定*质和相似三角形的判定和*质即可得到结论.
【解答】解:(1)在y=﹣2x﹣10中,当y=0时,x=﹣5,
∴A(﹣5,0),
∴OA=5,
∴AC=7,
把x=﹣3代入y=﹣2x﹣10得,y=﹣4
∴OC=4,
∴四边形ABCD的面积=(3+7)×4=20;
故*为:20;
(2)①当0≤t≤3时,∵BC∥AD,AB∥EF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴S=AE•OC=4t;
②当3≤t<7时,如图1,∵C(0,﹣4),D(2,0),
∴直线CD的解析式为:y=2x﹣4,
∵E′F′∥AB,BF′∥AE′
∴BF′=AE=t,
∴F′(t﹣3,﹣4),
直线E′F′的解析式为:y=﹣2x+2t﹣10,
解得,
∴G(,t﹣7),
∴S=S四边形ABCD﹣S△DE′G=20﹣×(7﹣t)×(7﹣t)=﹣t2+7t﹣,
③当t≥7时,S=S四边形ABCD=20,
综上所述:S关于t的函数解析式为:S=;
(3)当t=2时,点E,F的坐标分别为(﹣3,0),(﹣1,﹣4),
此时直线EF的解析式为:y=﹣2x﹣6,
设动点P的直线为(m,﹣2m﹣6),
∵PM⊥直线BC于M,交x轴于n,
∴M(m,﹣4),N(m,0),
∴PM=|(﹣2m﹣6)﹣(﹣4)|=2|m+1|,PN=(﹣2m﹣6|=2(m+3|,FM=|m﹣(﹣1)|=|m+1
①假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在x轴上,
如图2,连接PT,FT,则△PFM≌△PFT,
∴PT=PM=2|m+1|,FT=FM=|m+1|,∴=2,
作FK⊥x轴于K,则KF=4,
由△TKF∽△PNT得, =2,
∴NT=2KF=8,
∵PN2+NT2=PT2,
∴4(m+3)2+82=4(m+1)2,
解得:m=﹣6,∴﹣2m﹣6=﹣6,
此时,P(﹣6,6);
②假设直线EF上存在点P,使点T恰好落在y轴上,
如图3,连接PT,FT,则△PFM≌△PFT,
∴PT=PM=2|m+1|,FT=FM=|m+1|,
∴=2,
作PH⊥y轴于H,则PH=|m|,
由△TFC∽△PTH得,,
∴HT=2CF=2,
∵HT2+PH2=PT2,
即22+m2=4(m+1)2,
解得:m=﹣,m=0(不合题意,舍去),
∴m=﹣时,﹣2m﹣6=﹣,
∴P(﹣,﹣),
综上所述:直线EF上存在点P(﹣6,6)或P(﹣,﹣)使点T恰好落在y轴上.
知识点:各地中考
题型:综合题